逆序数是数组中一组特定的数对，它们满足条件：前一个数大于后一个数。逆序数的计算是计算机科学中一个常见的算法问题，尤其在数据结构和算法面试中频繁出现。本文将详细介绍逆序数的概念、求解方法，并通过实战案例解析其应用。
1. 逆序数的定义
逆序数（Inversion Count）是一个数组中所有逆序对的数量。逆序对是指一个数组中的两个数，它们的索引分别位于数组的前后，且前一个数大于后一个数。
例如，数组 [1, 3, 2] 中的逆序对有 (3, 2)，因此这个数组的逆序数为 1。
2. 求解逆序数的方法
2.1 暴力解法
最简单的方法是使用双重循环遍历数组中的每一对数，判断它们是否构成逆序对。这种方法的时间复杂度为 O(n^2)，在数组规模较大时效率较低。
public static int inversionCount(int[] arr) {
int count = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
if (arr[i] > arr[j]) {
count++;
}
}
}
return count;
}
2.2 归并排序法
归并排序算法在排序过程中可以计算逆序数。当合并两个有序子数组时，如果当前子数组的某个元素大于另一个子数组的当前元素，则所有位于这个元素之前的子数组的元素都会与它形成逆序对。
public static int mergeSortAndCount(int[] arr) {
if (arr.length <= 1) {
return 0;
}
int mid = arr.length / 2;
int[] left = Arrays.copyOfRange(arr, 0, mid);
int[] right = Arrays.copyOfRange(arr, mid, arr.length);
int count = mergeSortAndCount(left) + mergeSortAndCount(right);
int i = 0, j = 0, k = 0;
while (i < left.length && j < right.length) {
if (left[i] <= right[j]) {
arr[k++] = left[i++];
} else {
arr[k++] = right[j++];
count += left.length - i;
}
}
while (i < left.length) {
arr[k++] = left[i++];
}
while (j < right.length) {
arr[k++] = right[j++];
}
return count;
}
2.3 分治法
分治法是一种递归算法，将数组分解为较小的子数组，然后分别计算每个子数组的逆序数，最后将它们合并。
public static int merge(int[] arr, int[] temp, int left, int mid, int right) {
int count = 0;
int i = left, j = mid + 1, k = left;
while (i <= mid && j <= right) {
if (arr[i] <= arr[j]) {
temp[k++] = arr[i++];
} else {
temp[k++] = arr[j++];
count += mid - i + 1;
}
}
while (i <= mid) {
temp[k++] = arr[i++];
}
while (j <= right) {
temp[k++] = arr[j++];
}
for (i = left; i <= right; i++) {
arr[i] = temp[i];
}
return count;
}
public static int divideAndConquer(int[] arr, int[] temp, int left, int right) {
if (left >= right) {
return 0;
}
int mid = left + (right - left) / 2;
int count = divideAndConquer(arr, temp, left, mid) + divideAndConquer(arr, temp, mid + 1, right);
count += merge(arr, temp, left, mid, right);
return count;
}
3. 实战案例解析
假设我们有以下数组 [3, 1, 2, 5, 4]，需要计算其逆序数。
使用归并排序法，我们可以将其逆序数为 3。具体逆序对如下：
(3, 1)
(3, 2)
(5, 4)
4. 总结
逆序数的求解是计算机科学中的一个基础问题，有多种算法可以求解。本文介绍了暴力解法、归并排序法和分治法，并通过实战案例展示了归并排序法在计算逆序数中的应用。了解这些算法及其应用场景，有助于我们在实际编程中解决相关问题。